A természet rendje

Rate this item
(3 votes)
felhoMinták világában élünk.

A csillagok minden éjjel körök mentén mozognak az égen. Az évszakok ciklikusan váltakoznak, évenkénti szakaszokban. Nincs két pontosan megegyezõ hópehely, de mindegyik hatszögszimmetriát mutat. A tigrisek és zebrák csíkosak, a leopárdokat és a hiénákat foltok díszítik. Bonyolult hullámsorok haladnak az óceánokon, hozzájuk nagyon hasonló homokdûnesorok vonulnak a sivatagokon át. Színes szivárványok ékesítik az eget, és téli éjszakákon néha fényes udvar övezi a Holdat. A felhõkbõl majdnem gömb alakú vízcseppek hullanak. 

 

Az emberi értelem és kultúra egy formális gondolati rendszert dolgozott ki a minták felismerésére, osztályozására és hasznosítására. Ez a matematika. Segítségével szervezve és rendszerezve gondolatainkat, rájöttünk egy nagy titokra: a természet mintái nemcsak arra valók, hogy csodáljuk õket, hanem egyben kulcsot is adnak a természeti folyamatokat megszabó törvények megfejtéséhez. Négyszáz éve Johannes Kepler német csillagász kis könyvet írt "A hatszögletû hópehely" címmel, újévi ajándékul egyik "szponzorának". Ebben azt fejtegette, hogy a hópelyhek bizonyára parányi, azonos egységek egymás mellé kerülésével keletkeznek. Tette ezt jóval azelõtt, hogy az anyag atomos szerkezetének elmélete általánosan elfogadottá vált volna. Kepler nem végzett kísérleteket; egyszerûen csak mélyen belegondolt az addig ismert tények egy-egy morzsájába. Legfõbb érve a hópelyhek hatszögû szimmetriája volt, ami a szabályos elrendezõdés természetes következménye. Ha sok egyforma érmét rakunk az asztalra, és olyan szorosan próbáljuk elhelyezni õket, amennyire csak lehet, méhsejt- elrendezést kapunk, amelyben minden sejtet - kivéve a szélsõket - hat másik vesz körül, hatszög alakban.

      A csillagok szabályos éjszakai mozgása is kulcs, ezúttal ahhoz, hogy a Föld forog. A hullámok és a dûnék kulcsot adnak a víz, homok és levegõ áramlásának törvényeihez. A tigris csíkjai és a hiéna foltjai a biológiai növekedés és forma matematikai szabályosságáról tanúskodnak. A szivárványok a fény szóródásáról regélnek, s közvetve megerõsítik, hogy a vízcseppek gömbök. A holdudvar a jégkristályok alakjának titkához vezet el. Sok szépség van a természet kódjaiban, amelyeket akár matematikai tudás nélkül felismerhetünk. Azokban a matematikai történetekben is van szépség, amelyek a mintákból indulnak ki, és a bennük rejlõ törvényekhez, szabályszerûségekhez jutnak el, de ez másfajta szépség, inkább ideák szépsége, mint dolgoké. A matematika úgy viszonyul a természethez, mint Sherlock Holmes a bizonyítékhoz. Ha egy szivarcsikket adnak neki, a nagy detektív meg tudja állapítani a tulajdonos korát, foglalkozását és anyagi helyzetét. Barátja, Dr. Watson, akinek érzékenysége az efféle dolgok iránt kisebb, csak ámuldozik, míg a Mester elõadja kifogástalan logikai levezetését. Ha hatszögû hópelyheket adnak neki, a matematikus le tudja vezetni belõlük a jégkristályok atomjainak geometriai felépítését. Ha ön Watson, ez csak bámulatra méltó trükk, de szeretném önnek megmutatni, milyen érzés Sherlock Holmesnak lenni.

  A minták nemcsak szépek, hasznosak is. Mikor megismertünk egy háttérmintát, hirtelen kiütköznek a kivételek. A sivatag csendes, de az oroszlán lopakodik. A körpályán haladó csillagok alkotta háttérhez képest felhívja magára a figyelmet néhány csillag, amely egészen másképp mozog. A görögök planétáknak nevezték õket, ez "vándor"-t jelent, s mi is ezt a szót használjuk. A bolygómozgás sokkal késõbb vált érthetõvé, mint a csillagok éjszakai körmozgása. Az egyik nehézség az, hogy a Naprendszeren belül vagyunk, vele együtt mozgunk, és a kívülrõl egyszerûnek látszó dolgok gyakran sokkal bonyolultabbaknak bizonyulnak belülrõl. A bolygók a tömegvonzás és a mozgás kapcsolatának megfejtését adták. 

  Bizonyos újfajta mintákat csak most ismerünk meg. Csak az utóbbi harminc évben vettek tudomást két mintáról, amelyeket ma fraktáloknak, ill. káosznak nevezünk. A fraktálok geometriai alakzatok, jellegzetességük, hogy bármilyen mérettartományban megtaláljuk ismétlõdésüket (e fejezet végén még szólok róluk). A káosz látszólagos véletlenszerûség, amelynek eredete tökéletesen meghatározott (ezzel részletesebben foglalkozom a 8. fejezetben). A természet több milliárd évvel ezelõtt is "tudott" ezekrõl a mintákról, mert például a felhõ fraktál és az idõjárás kaotikus. Az emberiségnek azonban beletelt egy kis idõbe, míg mindezt felfogta.
frac66

      A legegyszerûbb matematikai objektumok a számok, és a legegyszerûbb természeti minták számszerûek. A Hold fázisai teljes ciklust alkotnak újholdtól teliholdig és vissza, huszonnyolc naponként. Az év majdnem pontosan háromszázhatvanöt napból áll. Az embernek két lába van, a macskának négy, a rovaroknak hat, és a pókoknak nyolc. A tengeri csillagnak öt karja van (vagy tíz, tizenegy, esetleg tizenhét, fajtától függõen). A lóhere általában három levelû: a babona, mely szerint a négylevelû lóhere szerencsét hoz, azt a mély meggyõzõdést tükrözi, hogy a minta alóli kivételek speciális jelentõséggel bírnak. Valóban különös minta mutatkozik a virágszirmoknál. Majdnem minden virág szirmainak száma megtalálható a következõ furcsa sorozatban: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Például, a liliom szirmainak száma 3, a boglárkáé 5, sok szarkalábé 8, a gólyahíré 13, az õszirózsáé 21 és a legtöbb százszorszépé 34, 55 vagy 89. Nem találunk semmilyen más számot ilyen gyakorisággal. Ezekhez a számokhoz meghatározott minta rendelhetõ, és némi keresgélés után rájövünk: minden szám az elõzõ kettõ összege. Például 3+5=8, 5+8=13 stb. Ugyanezeket a számokat találjuk, ha megszámoljuk a napraforgó spirális minta szerint sorjázó magvait. Ezt a speciális mintát sok évszázaddal ezelõtt észrevették, és azóta alaposan tanulmányozzák, de valóban kielégítõ magyarázatot senki sem adott 1993-ig. Errõl majd a 9. fejezetben olvashatnak.

      A numerológia a legkönnyebb - és egyben a legveszélyesebb - módszer a minták keresésére. Könnyû, mert bárki megpróbálkozhat vele, és veszélyes, ugyanezért. A nehézség abban rejlik, hogy a jelentõs numerikus mintákat megkülönböztessük az esetlegesektõl. Íme egy példa. Kepler lelkesedett a természetben fellelhetõ matematikai mintákért, és életének nagy részét arra áldozta, hogy a bolygók viselleedésében ilyeneket találjon. Egyszerû és takaros kis elméletet dolgozott ki arra, hogy pontosan hat bolygó van (az õ idejében csak a Merkúr, a Vénusz, a Föld, a Mars, a Jupiter és a Szaturnusz volt ismert). Ugyancsak felfedezett egy igen furcsa mintát a bolygók ún. orbitális periódusa - az az idõtartam, amíg megkerülik a Napot - és a Naptól való távolságuk közti viszonyra. Itt emlékeztetek arra, hogy egy szám négyzete az a szám, amit úgy kapok, hogy önmagával megszorzom: például, a 4 négyzete: 4x4=16. Hasonlóan, a köb úgy kapható, hogy a számot kétszer is megszorozzuk önmagával: például, 4 köbe: 4x4x4=64. Kepler úgy találta, hogy ha akármelyik bolygó Naptól való távolságának köbét elosztjuk orbitális periódusának négyzetével, mindig ugyanazt a számot kapjuk. Ez nem volt egy túlságosan "elegáns" szám, de mind a hat bolygóra ugyanaz adódott.

      Melyik a jelentõsebb e numerológiai észrevételek közül? Az utókor ítélete szerint a második, a bonyolult és látszólag légbõl kapott számítás a négyzetekkel és köbökkel. Ez a numerikus minta volt az egyik mérdföldkõ Isaac Newton gravitációelmélete felé, amely aztán mindenfajta rejtélyt megoldott a csillagok és bolygók mozgásával kapcsolatban. Ezzel szemben Kepler csinos, takaros elméletét a bolygók számáról nyomtalanul eltemette az idõ. Elõször is, nem állja meg a helyét, ugyanis ma már kilenc planétát ismerünk, nem hatot. Talán több is van, még távolabb a Naptól, elég kicsi és gyenge fényû, hogy ne lehessen felfedezni. Fontosabb azonban, hogy ma már nem is várunk semmilyen csinos, takaros elméletet a bolygókról. Úgy képzeljük, hogy a Naprendszer egy, a Napot körülvevõ gázfelhõbõl sûrûsödött össze, a bolygók számát pedig feltehetõen az határozza meg, hogy ebben a gázfelhõben mekkora volt az anyag mennyisége, milyen volt az eloszlása, s hogy milyen sebességgel és mely irányokba mozgott. A lehetséges gázfelhõk egyike nyolc, másika tizenegy bolygót adna ki; a szám esetleges, függ a gázfelhõ kezdeti feltételeitõl, nem pedig univerzális, ami egy általános természeti törvény tükre.

      Az igazi probléma a numerikus mintakereséssel az, hogy minden univerzális szám keresésekor esetleges számok millióit vizsgálja meg. És nem is mindig nyilvánvaló, melyik melyik. Például, van három csillag, körülbelül egyenlõ távolságban egy egyenes mentén az Orion csillagkép övében. Kulcs ez valamilyen természeti törvényhez? Vagy vegyünk egy hasonló példát. Io, Európa és Ganümédesz - a Jupiter nagyobb holdjai közül három. A bolygót 1,77, 3,55, ill. 7,16 nap alatt kerülik meg. Mindegyik szám majdnem pontosan kétszerese az elõzõnek. Jelentõs minta ez? Három csillag egy sorban, a pozíció értelmében; három mellékbolygó "egy sorban", az orbitális periódus értelmében. Melyik minta fontos a kettõ közül, ha egyáltalán elmondhatjuk valamelyikrõl? Most csak gondolkozzanak el ezen, és a következõ fejezetben majd visszatérünk rá.

      A numerikus mintákon kívül vannak geometrikus minták is. Ennek a könyvnek valójában A természet számai és formái címet kellet volna adnom. Két mentségem van, hogy mégsem ezt választottam. Elõször is, a cím jobban hangzik "és formái" nélkül. Másodszor, a matematikai formák mindig redukálhatók számokra - a számítógép is így kezeli a grafikai képet. Minden apró pontját úgy tárolja és kezeli, akár egy számpárt: milyen messze van a pont a képernyõ jobb szélétõl és milyen messze az aljától. Ez a két szám a pont koordinátái. Egy általános forma: pontok összessége, és így elõállítható számpárok listájaként. Ugyanakkor persze gyakran jobb, ha a formákra mint formákra gondolunk, mert így hatékony és intuitív vizuális képességeinket használhatjuk, míg a komplikált számlisták inkább gyengébb és fáradságosabban mûködtethetõ szimbolikus képességeinket veszik igénybe.

      A matematikusokat érdeklõ fõbb formák a legutóbbi idõkig nagyon egyszerûek voltak: háromszögek, négyzetek, ötszögek, hatszögek, körök, ellipszisek, spirálok, kockák, gömbök, kúpok, és így tovább. Ezek a formák mind megtalálhatók a természetben, bár nem mind egyformán megszokott vagy kézenfekvõ. A szivárvány például körökbõl áll, minden szín külön kört alkot. Általában nem látjuk az egész kört, csak egy ívét; de nagy magasságból megfigyelt szivárvány teljes körökbõl is állhat. Körök láthatók a tavacskák fodrozódásakor, az emberi szemben és a pillangók szárnyain.

      Ha már fodrokról beszéltünk, a folyadékok áramlása kimeríthetetlen tárháza a természeti mintáknak. Sokfajta hullám van - a part felé párhuzamos sorokban áradó, a mozgó hajó mögött V alakban szétterjedõ, a tengermélyi földrengés körül szétsugárzó. A legtöbb hullám társas lény, de egyesek - így például a dagálykor a folyón végigvonuló, mivel a bejövõ dagály energiája szûk csatornába szorul - egyedül járnak. Vannak tajtékzó spirális örvények és apró örvényecskék. S létezik a turbulens áramlás látszólag rendezetlen, véletlen kimerevülése, a matematika és fizika egyik nagy rejtélye. A légkörben is akadnak hasonló minták, a legdrámaibb a hurrikán roppant spirálja, ahogy a Föld körül keringõ ûrhajós látja.

      Elõfordulnak hullámminták a szárazföldön is. A Földön a legmeghökkentõbben matematikai jellegû tájak az Arábiai-sivatag és a Szahara legnagyobb ergjeiben, azaz homokóceánjaiban találhatók. Még akkor is alakulnak itt homokdûnék, amikor a szél mindig ugyanabba az irányba fúj.
barkan
A legegyszerûbb mintát az ún. transzverzális dûnék alkotják, amelyek - akár az óceán hullámai - párhuzamos egyenes sorokba rendezõdnek, merõlegesen az uralkodó szélirányra. Néha maguk a sorok is hullámosak, ilyenkor barkánnak nevezzük õket; máskor megszámlálhatatlan pajzs alakú barkán dûnére törnek szét. Ha a homok kissé nedves, és van valami növényzet, ami összetartja, parabola aiakú dûnéket találunk, U alakúakat, kerek végükkel a szél irányában. Ezek olykor nyalábokban jelennek meg, és egy gereblye fogaihoz hasonlítanak. Ha a szélirány változó, más formák is lehetségesek. Például csillag alakú dûnék csoportjai alakulhatnak ki, mindegyik több szabálytalan karral, egy központi csúcsból sugarasan szétágazva. Ezek a csillagok véletlenszerû foltmintákba rendezõdnek.

      A természet vonzódása a csíkokhoz és foltokhoz tapasztalható a tigrisek és leopárdok, a zebrák és zsiráfok esetében is. Az állatok és növények formái és mintái a matematikus hajlandóságúak kedvenc vadászterülete. Például miért olyan sok kagyló alakja spirál? Miért szimmetrikus a tengeri csillag karjainak elrendezése? Miért vesz fel sok vírus szabályos geometriai formát, melyek közül a legmeglepõbb az ikozaéder - ami szabályos merev test, húsz egyenlõ oldalú háromszöglappal? Miért mutat oly sok állat tükrös szimmetriát? Miért tökéletlen ez a szimmetria oly gyaleran, miért tûnik el, amikor belemegyünk a részletekbe, lásd az emberi szív elhelyezkedését vagy a különbséget az emberi agy két féltekéje között? Miért vagyunk túlnyomórészt jobbkezesek, de nem mindannyian?

      A formai mintákon kívül mozdulatminták is léteznek. Az ember lába járás közben szabályos ritmusban érinti a földet: bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb. Egy négylábú lény, például a ló bonyolultabb, de ugyancsak ritmikus minta szerint halad.

      A helyváltoztatásban uralkodó minta fellelhetõ a rovarok futásában, a madarak röptében, a medúza lüktetésében és a hal, a féreg, a kígyó hullámzó mozgásában. Az egyik sivatagi csörgõkígyófajta úgy mozog, mint egyetlen tekercs rugó, testét S alakú görbék sorozataként tolja elõre, hogy a lehetõ legkisebb felületen érintkezzék a forró homokkal. És a parányi baktériumok is mikroszkopikus csavarszerû farkuk segítségével haladnak elõre, amelyek folyamatosan forognak, mint a propeller.

      Végül van a természeti mintáknak egy csoportja, amelyet csak nemrég ismert fel az ember, ugyancsak megdöbbenve. Ezek a minták ott találhatók, ahol mindent véletlenszerûnek és alaktalannak hittünk. Nézzük például egy felhõ alakját. Igaz, a meteorológusok a felhõket morfológiai csoportokba osztják - cirrusz, sztrátusz, kumulusz stb. -, de ezek nagyon általános alaktípusok, nem felismerhetõ geometriai formák a hagyományos matematikai értelemben. Nem látunk gömb alalcú felhõket, sem kocka vagy ikozaéder alakúakat. A felhõk gomolygó, formátlan, zavaros halmok. Mégis van egy megkülönböztetõ minta a felhõk számára, amely szorosan összefügg a felhõképzõdés fizikájával. Ez pedig lényegében a következõ: ha megnézel egy felhõt, még nem tudhatod, mekkora. Ha megnézel egy elefántot, meg tudod mondani, körülbelül mekkora: egy ház nagyságú elefánt összerogyna a saját súlya alatt, egy egér nagyságúnak pedig használhatatlanul vastag lenne a lába. A felhõk egyáltalán nem ilyenek. Egy nagy felhõt távolról nézve és egy kis felhõt közelrõl akár össze is cserélhetnénk. Persze különbözõ alakúak, de alakjuk nem függ szisztematikusan a nagyságtól.

      Ezt a "skálafüggetlenséget" kísérletileg igazolták olyan felhõalakzatokra, amelyeknek a mérete egy ezres faktoron belül tetszõlegesen variálódott. Az egy kilométer hosszú felhõk éppen úgy festenek, mint az ezer kilométer hosszúságban elnyúlók. Ez a minta megint kulcs! A felhõk akkor keletkeznek, amikor a víz "halmazállapot-változáson" megy át párából folyadékba. A fizikusok felfedezték, hogy ugyanaz a skálainvariancia jár minden halmazállapot-változással. Valóban, ez a statisztikus önhasonlóság, ahogyan nevezik, sok más természeti formára érvényes. Egy svéd kollégám, aki az olajmezõk geológiájával foglalkozik, elõszeretettel mutogat egy vetített képet, amin egyik barátja áll egy hajón, hanyagul egy sziklapárkányra támaszkodva, amely körülbelül a hónaljáig ér. A fotó teljesen meggyõzõ, a hajó nyilván egy kb. két méter mély sziklás vízmosás szélén horgonyzott le. Valójában a sziklapárkány egy távoli fjord oldala, néhány ezer méter magasan. A fotós számára a fõ gond az volt, hogy mind az elõtérbeli figurát, mind a távoli tájat meggyõzõ képpé komponálja.

      Senki sem próbálta volna meg eljátszani ezt a trükköt egy elefánttal. Ugyanakkor játszhatjuk ezt a természet sok formájával, hegyekkel, folyamrendszerekkel, fákkal és valószínûleg az egész univerzumban is, mivel az anyag úgy oszlik el, hogy erre a játékra alkalmas struktúrát alkot. A matematikus Benoit Mandelbrot által híressé tett kifejezéssel, ezek mind fraktálok. A szabálytalanság új tudománya - a fraktálgeometria - az utóbbi tizenöt évben alakult ki. A fraktálokat létrehozó dinamikus folyamatot, amely káosz néven ismert, részletesen tárgyalom majd.

      Az új matematikai elméletek kifejlõdésének köszönhetõen a természet eddig megfoghatatlan mintái is kezdik elárulni titkukat. Látszik már mind a gyakorlati, mind az intellektuális hatás. Friss értésünket a természet rejtett szabályosságairól fel tudjuk használni arra, hogy mesterséges bolygókat indítsunk új célok felé korábban elképzelhetetlenül kevés üzemanyaggal, csökkentsük a mozdonykerék vagy más forgó alkatrészek kopását, javítsuk a pacemakerek hatékonyságát, jobban mûködtessünk egy erdõ- vagy halgazdaságot, sõt jobb mosogatógépeket gyártsunk. De a legfontosabb, hogy alaposabban ismerjük meg a világot, amelyben élünk, és többet tudjunk a benne elfoglalt helyünkrõl.
Read 6525 times Last modified on July 29 2014

Leave a comment

Make sure you enter all the required information, indicated by an asterisk (*). HTML code is not allowed.

4 comments

  • Comment Link valaki April 10 2011 posted by valaki

    Hát ez jó! :lol:

  • Comment Link reni June 01 2010 posted by reni

    a dolgozatomhoz keresek anyagot a "matematika a muveszetben" cimmel, de sajnos nem talalok tul sok dolgot.viszont nagyon ugyesen kivan dolgozva az anyag. ;-)

  • Comment Link auranka November 18 2007 posted by auranka

    Szia Gimislány!

    Ha kész a dolgozatod, küldd el nekem, és kiteszem. :-)

  • Comment Link ruby November 18 2007 posted by ruby

    Sztem ez egy érdekes, cikk, de lehetne kciit kidolgozottabb... Én ugyanis éppen a leckémhez keresek anyagot, és ami itt le van írva, az mind szép és jó, sõt érdekes is, de még lenne pár természeti alak, pl. meander, elágazó szerekezetrk, azonosan bõvülõ csigavonal, ami nincs megemlítve sajnos... De ettõl függetlenül tetszett:D

    üdvözlettel. egy gimis diáklány

Read 11457 times 26
Szupervihar az űrben - károk a Földön
Milyen az időjárás a kozmoszban? Mennyire befolyásolják az űrben megfigyelhető meteorológiai jelenségek a Föld időjárását? 2012-ben ér a maximumra a…
Read 10258 times 13
Egy korszak vége
Bizonyára a 2012-es évről mindenki hallott már ilyen-olyan forrásból. Felmerülhet benned a kérdés: mit kaphatsz tőlünk, amit máshol nem, vagy…
Read 8735 times 15
Arany Fehér Por ('White Powder Gold') másnéven ORME-elemek
Bizonyos vulkanikus eredetű kõzetekbõl nyert porok, amik felborították az ásványtani, kémiai, mágnesfizikai, bio-kémiai ismereteket, a legelképesztõbb gravitációs és térdimenziós anomáliákat…
Read 8359 times 5
Maják világvége elmélete
A maják tudták, hogy honnan ered fejlett tudásuk. Azt állították, hogy Quetzalcoatl, az isten elsô teremtményei, az elsô emberek adták…
Read 7586 times 1
Összeomlik a Föld mágneses mezeje
Az elmúlt másfél évszázadban a Föld mágneses mezejének erõssége 10-15 százalékkal csökkent, és a folyamat gyorsul, állítják kutatók. A gyengülés…